用几何画板验证全等三角形”

用几何画板验证全等三角形”
　　
　　东台市实验中学教育集团　崔恒刘
　　
　　《几何画板》是美国Key Curriculum Press 公司制作的优秀教育软件，它可以给我们创造一个实际“操作”数学、做数学“实验”的环境，如任意拖动某点、线，观察图形的变化，猜测、验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于我们对数学的学习和理解。下面我带领同学们用几何画板实验验证：为什么三角形全等的条件只有SSS、SAS、ASA这3个基本事实和AAS这1个推论呢？SSA为什么不可以呢？用SSS、SAS、ASA、AAS判定两个三角形全等，其本质是给定的条件能不能唯一确定三角形，现在我们以边为线索，先从三边开始探究：
　　
　　一、 三边对应相等
　　
　　已知△ＡＢＣ的三边ＡＢ＝c，BC=a，CA=b，求作△ＡＢＣ。
　　
　　过程：先作线段ＡＢ＝c，然后分别以A、B为圆心，b、a为半径画圆，如果两圆不能相交，则说明给定的三边不能组成三角形，这验证“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。如图1，我们看到，两圆相交于两点C、D，连接AC、AD、BC、BD，则得到△ＡＢＣ和△ABD，度量三对角，发现它们分别相等，则说明这两个三角形全等。从这里可以看出，有了三边的长度，不用考虑角的大小，就能把三角形唯一确定下来。这说明若三角形的三边相等，则两三角形全等。
　　

　　

二、两边对应相等
　　
　　①无角相等：已知△ＡＢＣ的两边AB=c，ＣＡ=b，求作△ＡＢＣ。
　　
　　过程：先作线段AB=c，再以A点为圆心，b为半径画圆，在圆上任取一点C与A、B连接，所形成的三角形均满足两边ＡＢ＝c，ＣＡ＝b的条件，如图2，拖动点C，可以看到，这样的三角形有无数，这说明两边对应相等的两个三角形不全等。
　　
　　②两边的夹角相等：已知△ＡＢＣ的两边AB=c，AC=b和它们的夹角∠ＢＡＣ＝∠α，求作△ＡＢＣ。
　　
　　过程：先作∠ＢＡＣ＝∠α，然后以点A为圆心，分别以c，b为半径画圆，交∠A的两边于B、C两点，连BC，则图3中有一个确定的△ＡＢＣ，满足条件AB=c，AC=b，∠ＢＡＣ＝∠α。这说明若三角形的两边及两边的夹角对应相等，则两三角形全等。
　　
　　③一边的对角相等：已知△ＡＢＣ的两边ＡＢ＝c，BC=a和边BC的对角∠ＢＡＣ＝∠α，求作△ＡＢＣ。
　　
　　过程：先作∠ＢＡＣ＝∠α，然后以点A为圆心，以c为半径画圆，交∠A的一边于B点，再以B点为圆心，a为半径画圆，可以看到，这个圆与∠ＢＡＣ的另一边有两个交点，如图4（也可能是一个交点，也可能没有交点），即满足条件的三角形不能唯一确定，这说明若三角形的两边及一边的对角对应相等，则两三角形不一定全等。
　　
　　由上面的三点讨论知：当已知三角形的两边对应相等时，必须再知道它们的夹角相等，才能确定这两个三角形全等，而SSA不能判定两个三角形全等。
　　
　　三、有一边相等
　　
　　类似地，我们用画板实验有一边相等的情形，这个留给同学们自己尝试